Задача 52205 Найдите все значения a, при каждом из...

xopouuo

7 июня 2020 г. в 14:05

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
{ x(x² + y² – y – 2) = |x|(y – 2),
{ y = x + a
имеет ровно три различных решения.

sova

7 июня 2020 г. в 21:05

Подставляем в первое уравнение вместо y=x+a

x·(x²+(x+a)²–(x+a)–2)=|x|·(x+a–2)


Раскрываем модуль по определению

если x ≥ 0 ⇒ |x|=x

x·(x²+(x+a)²–(x+a)–2)=x·(x+a–2) ⇒ x·(x²+(x+a)²–(x+a)–2)–x·(x+a–2)=0

x·(x²+x²+2ax+a²–x–a–2–x–a+2)=0

x·(2x²+(2a–2)x+a²–2a)=0

Это уравнение имеет три различных корня:

x₁=0 и квадратное уравнение в скобках имеет два неотрицательных корня при D >0 и
их произведение и сумма положительны

С учетом теоремы Виета x₂·x₃=a²–2a >0; x₂+x₃=–2a+2>0

D=(2a–2)²–4·2(a²–2a)=4a²–8a+4–8a²+16a=–4a²+8a+4 ⇒

{–4a²+8a+4 >0
{a²–2a>0
{–2a+2 >0

Из системы находим :
{ a²–2a–1 < 0 ⇒ D=8 корни 1 ± √2; 1–√2 < x < 1+√2
{a<0; a >2
{a < 1

О т в е т (1–√2; 0)

если x< 0 ⇒ |x|= – x

x·(x²+(x+a)²–(x+a)–2)=– x·(x+a–2) ⇒ x·(x²+(x+a)²–(x+a)–2)+x·(x+a–2)=0

x·(x²+x²+2ax+a²–x–a–2+x+a–2)=0

x·(2x²+2ax+a²–4)=0

Это уравнение имеет три различных корня:

x₁=0 и квадратное уравнение в скобках имеет два отрицательных корня при D >0 и
их произведение положительно ,а сумма отрицательна
С учетом теоремы Виета:
x₂·x₃=a²–4 >0; x₂+x₃=–2a<0

D=(2a)²–4·2(a²–4)=4a²–8a²+32=–4a²+32⇒

{–4a²+32>0 ⇒ a²–8 <0 ≥ ⇒ –2√2<x < 2√2
{a²–4>0 ⇒ a < –2 или a > 2
{–2a <0 ⇒ a > 0

О т в е т. a ∈ (2;2√2)

Окончательный ответ – ответ первого случая а ∈ (1–√2;0)U(2;2√2)