Задача 38590 Периметр прямоугольного треугольника...

vk535418574

12 июля 2019 г. в 19:50

Периметр прямоугольного треугольника относится к его площади как 2:3. Стороны треугольника выражены целыми числами. Найти наибольший возможный периметр треугольника.

sova

12 июля 2019 г. в 22:21

★

Пусть a и b – катеты прямоугольного треугольника,c – гипотенуза


Р(прямоугольного треугольника)=a+b+c

S=(1/2)a·b

По условию:
Р:S=2:3

2S=3P

Значит

a·b=3·(a+b+c)

По теореме Пифагора:

a²+b²=c²

Система

{a²+b²=c²
{ab = 3(a+b+c)

Произведение a·b кратно 3, значит либо а, либо b кратно 3

Рассмотрим числа, для которых справедлива теорема Пифагора.
( таких чисел бесчисленное множество)
Cм. приложение.

Например, тройка чисел 7; 24 и 25 удовлетворяет указанным требованиям.
Р=56
S=84

2S=3P –верно, так как 2·84=3·56

Тогда периметр

7+24+25=56

тройка чисел 8; 15 и 17 удовлетворяет указанным требованиям.
Р=40
S=60

2S=3P –верно, так как 2·60=3·40

тройка чисел 9; 12 и 15 удовлетворяет указанным требованиям.
Р=36
S=54

2S=3P –верно, так как 2·54=3·36