Задача 29437 ...

slava191

2018-09-02 19:57:24

Отрезок ВМ —медиана треугольника АВС.

а) Докажите, что ВМ меньше или равно (1/2)(АВ+ВС).
б) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 17, ВС = 9, ВМ = 5.

sova

2018-09-02 22:00:07

★

а)
Удвоим медиану. Получим точку K. ( cм. рис.)
Четырехугольник КАВС - параллелограмм.
(Диагонали АС и ВК в точке пересечения делятся пополам.
АМ=МС по условию, что ВМ - медиана,
ВМ=МК по построению)

Значит, АК=ВС; КС=АВ.

Запишем неравенство треугольника
ВК ≤ KA+AB=BC+AB
BK ≤ KC+BC=AB+BC

Cкладываем
2BK ≤ 2AB+2BC
BK≤ AB+BC
2BM ≤ AB+BC
BM ≤ (AB+BC)/2

б)Δ АВК=Δ ВСК
( по трем сторонам)

В треугольнике АВК известны три стороны:
АВ=17
АК=9
ВК=10
По формуле Герона находим площадь Δ АВК
p=(17+10+9)/2=18

S=sqrt(18*1*9*8)=36
S(параллелограмма КАВС)=2S(Δ АВК)=2*36=72

S( Δ ABC)=(1/2)S(параллелограмма КАВС)=36

О т в е т. 36