Задача 42926 Решите уравнение 2^(2x^2) + 2^(x^2+2x+2)...

nikolay179540

2019-12-20 08:54:56

Решите уравнение 2^(2x^2) + 2^(x^2+2x+2) = 2^(5+4x)

sova

2019-12-20 11:29:43

★

Замена переменной:

2^(x^2)=u
2^(2x)=v

тогда

2^(2x^2)=u^2
2^(4x)=v^2

[i]Уравнение имеет вид[/i]:

u^2+4u*v=32v^2

Это [i]однородное уравнение второго порядка[/i], сводящееся к квадратному.
Делим все уравнение на v^2 ≠ 0 или u^2 ≠ 0

Получаем уравнение

t^2+4t-32=0

t=u/v=2^(x^2)/2^(2x)=2^(x^2-2x)


D=16-4*(-32)=16+128=144

t_(1)=(-4-12)/2=-8; t_(2)=(-4+12)/2=4;

Обратный переход:
2^(x^2-2x)=- 8 - уравнение не имеет корней, 2^(x^2-2x)>0 при любом х

2^(x^2-2x)=4 ⇒ 2^(x^2-2x)=2^2 ⇒ x^2-2x=2

x^2-2x-2=0

D=(-2)^2-4*(-2)=4+8=12

x=(2 ± 2sqrt(3))/2

x=1 ± sqrt(3)

О т в е т. 1 ± sqrt(3)


Решение без замены переменной будет выглядеть так:

[m]2^{2x^2}+2^{x^2}\cdot 2^{2x}\cdot 2^2=2^5\cdot 2^{4x}[/m]

[m]2^{2x^2}+4\cdot 2^{x^2}\cdot 2^{2x}=32\cdot 2^{4x}[/m]

делим на [m]2^{4x}[/m]

[m]\frac{2^{2x^2}}{2^{4x}}+4\frac{2^{x}\cdot 2^{2x}}{2^{4x}}=32\frac{2^{4x}}{2^{4x}}[/m]

Квадратное уравнение:

[m](\frac{2^{x^2}}{2^{2x}})^2+4(\frac{2^{x^2}}{2^{2x}})-32=0[/m]

[m](2^{x^2-2x})^2+4\cdot 2^{x^2-2x}- 32=0[/m]
D=144

[m]2^{x^2-2x}=- 8[/m] или [m]2^{x^2-2x}=4[/m]

далее см. решение выше

первое уравнение не имеет корней, 2^(x^2-2x)>0 при любом х

[m]2^{x^2-2x}=4[/m] ⇒ [m]x=1 ± \sqrt{3}[/m]