Задача 30775 Найти точку M1, симметричную точке M(1;...

dashokkkk

4 ноября 2018 г. в 22:51

Найти точку M1, симметричную точке M(1; 0; 1) относительно плоскости 4x+6y+4z–25 = 0

sova

4 ноября 2018 г. в 23:17

Расстояние от точки M до плоскости:
d=|4·1+6·0+4·1–25|/√4²+6²+4²=|–17|/√68=√17/2

Уравнение прямой, проходящей через точку M с направляющим вектором, равным нормальному вектору данной плоскости
n=(4;6;4):

(х–1)/4=(y–0)/6=(z–1)/4

Находим точку пересечения прямой MM₁ и данной плоскости
{4x+6y+4z–25=0;
{(x–1)/4=y/6 ⇒ y=(3/2)(x–1)
{(x–1)/4=(z–1)/4 ⇒ z=x

4x+6·(3/2)(x–1)+4·x –25=0
17x=34
x=2
y=(3/2)·(2–1)
y=(3/2)
z=2

Обозначим D(2;(3/2);2)

Составим уравнение сферы с центром в точке D и радиусом d:
(x–2)²+(y–(3/2))²+(z–2)²=17/4

Найдем координаты точки M₁ – точки пересечения сферы и прямой MM₁:
{(x–2)²+(y–(3/2))²+(z–2)²=17/4
{y=(3/2)(x–1)
{z=x

(x–2)²+((3/2)x–3)²+(x–2)²=17/4

2x²–8x+8+(9/4)x²–9x+9=17/4

(17/4)x²–17x+51/4=0
x²–4x+3=0
D=16–12=4
x₁=(4–2)/2=1 или х₂=(4+2)/2=3
y₁=0 или y₂=3
z₁=1 или z₂=3

О т в е т. M₁(3;3;3)