Задача 45745 Окружности радиусов 8 и 3 касаются...

slava191

2020-04-01 12:39:26

Окружности радиусов 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности.

а) Докажите, что расстояние от точки касания до центра большей окружности равно 4.

б) Найдите расстояние от этой точки касания до точки касания окружностей. [16п14]

sova

2020-04-01 13:57:43

★

Значит,
D=2R=16
d=2r=6

См. рис.
Центры окружностей и точка касания лежат на одной прямой.
O_(1)K=8
PK=3+3=6
O_(1)P=8-6=2


Касательная [i]перпендикулярна[/i] радиусу,
проведенному в точку касания.

Δ О_(1)О_(2)М- прямоугольный,


O_(1)O_(2)=2+3=[b]5[/b]
O_(2)M=[b]3[/b]

[red]О_(1)М=4[/red]

б)
МК=?

Δ О_(1)О_(2)М- прямоугольный,

сos ∠ О_(1)О_(2)М=3/5

⇒ сos ∠ KО_(2)М=-3/5

По теореме косинусов

KM^2=3^2+3^2-2*3*3*(-3/5)=28,8=144/5

KM=sqrt(28,8)=sqrt(144/5)=12/sqrt(5)=12sqrt(5)/5

О т в е т. б) [b]12sqrt(5)/5[/b]