Задача 33232 ...

ggp

3 февраля 2019 г. в 17:17

∫ dx / (5 + 4 sinx)

sova

3 февраля 2019 г. в 18:26

Универсальная подстановка
tg(x/2)=t
тогда
(x/2)=arctgt
x=2arctgt
dx=2dt/(1+t²)

sinx=2t/(1+t²)

∫ dx/(5+4sinx)= ∫ (2dt/(1+t²))/ (5+(8t)/(1+t2))=

= ∫ 2dt/(5t²+8t+5)=
выделяем полный квадрат
[5t²+8t+5=5(t²+(8/5)t+1)=5·(t+(4/5))²–(16/25)+1)]

=(2/5) ∫ dt/(t+(4/5))²+(9/25))=

=(2/5)·(1/(3/5))arctg (t+(4/5))/(3/5)+C=

=(2/3)arctg ((5tg(x/2)+4)/3)+C