Задача 27071 4.64) tg^3x+tg^2x-3tgx-3 = 0, [2Pi;...

slava191

5 марта 2018 г. в 00:00

4.64) tg³x+tg²x–3tgx–3 = 0, [2π; 7π/2]

SOVA

5 марта 2018 г. в 00:00

★

tgx=–1 – решение уравнение, так как
(–1)³+(–1)²–3·(–1)–3=0 ⇒ 0=0 – верно.

Значит можно разложить левую часть уравнения на множители, один из которых нам известен.
Это (tgx+1)
Искусственный прием: прибавить и отнять 1:
tg³x+1+tg²x–1–3tgx–3=0
(tgx+1)·(tg²–tgx+1)+(tgx–1)·(tgx+1)–3·(tgx+1)=0
(tgx+1)·(tg²x–tgx+1+tgx–1–3)=0

(tgx+1)·(tg²x–3)=0
tgx+1=0 ⇒ tgx =–1 ⇒ x=(–π/4)+πk, k ∈ Z
или
tg²x–3=0 ⇒ tgx =–√3 или tgx =sqrt (3) ⇒
x=(–π/3)+πn, n ∈ Z или ⇒ x=(π/3)+πm, m ∈ Z

О т в е т:
а)(–π/4)+πk, k ∈ Z
± (π/3)+πm, m ∈ Z
б)(π/3)+2π=7π/3 ∈ [2π; 7π/2]
(–π/3)+π+2π=8π/3 ∈ [2π; 7π/2]
(–π/4)+π+2π=11π/4∈ [2π; 7π/2]
(π/3)+π+2π=10π/3 ∈ [2π; 7π/2]