Задача 34911 Вычислить интегралы. ...

olga1007

25 марта 2019 г. в 16:07

Вычислить интегралы.

sova

25 марта 2019 г. в 16:41

★

a) Табличный интеграл
∫ sin ud u=–cosu+C
u=x³
du=3x²dx
x²dx=(1/3)du

∫ x²·sin³xdx=(1/3) ∫ sinudu=(1/3)·(–cosu)+C= –(1/3)cosx³+C

б)
2^x+1=2^x·2¹=2·2^x
интегрируем по частям:
u=x ⇒ du=dx
dv=2^xdx ⇒ v= ∫ 2^xdx=2^x/ln2 + C

∫ udv=u·v– ∫ v·du

получаем

∫ x·2^x+1dx=2· ∫ x· 2^xdx= 2·(x·2^x/ln2)–2· ∫ 2^xdx/ln2=

= 2·(x·2^x/ln2)– (2/ln2) ·(2^x/ln2) + C=

= (x·2^x+1/ln2) – (2^x+1/(ln²2) + C

в) см. интегрирование рациональных дробей.

раскладываем знаменатель на множители, а дробь на простейшие:

(x+2)/(x·(x–1)(x+1)) = (A/x)+(B/(x–1))+ (D/(x+1))

x+2= A·(x–1)·(x+1) + B·x·(x+1) + D·x·(x–1)

Применяем метод частных значений.

Если левая и правая части выражения с переменной равны, то они равны и при одном и том же значении переменной:

при х=0
2=–А ⇒ A= – 2
при х=1
3=2B ⇒ B=3/2
при х=–1
1=2D ⇒ D=1/2

О т в е т. –2 ∫ dx/x +(3/2) ∫ dx/(x–1)+(1/2) ∫ dx/(x+1)=

= –2ln|x|+(3/2)ln|x–1|+(1/2)ln|x+1| + C