Задача 52753 а) решите уравнение...

eremeeva

2020-06-28 08:19:51

а) решите уравнение (х-1)^2/8+8/(х-1)^2=7(х-1/4-2/х-1)-1
б) найдите его корни, принадлежащие отрезку [-2;3].

sova

2020-06-28 10:24:02

[m]\frac{(х–1)^2}{8}+\frac{8}{(х–1)^2}=7(\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1})–1[/m]

[i]Замена переменной:[/i]

[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=t[/m]

Возводим в квадрат:

[m](\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1})^2=t^2[/m]

[m]\frac{(х–1)^2}{16} -2\cdot\frac{х–1}{4}\cdot \frac {2}{х–1} +\frac{4}{(х–1)^2}=t^2[/m] ⇒

[m]\frac{(х–1)^2}{16} -1 +\frac{4}{(х–1)^2}=t^2[/m]

Умножаем на 2:

[m]\frac{(х–1)^2}{8} -2 +\frac{8}{(х–1)^2}=2t^2[/m] ⇒

[m]\frac{(х–1)^2}{8} +\frac{8}{(х–1)^2}=2t^2+2[/m] ⇒

Уравнение принимает вид:

2t^2+2=7t-1

2t^2-7t+3=0

D=49-4*2*3=25

t_(1,2)=[m]\frac{7\pm5}{4}[/m]

t_(1)=[m]\frac{1}{2}[/m] или t_(2)=3

Обратный переход от переменной t к переменной х:

[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=\frac{1}{2}[/m]или[m]\frac{х–1}{4}–\frac {2}{х–1}=3[/m]

Решаем два дробно рациональных уравнения:
x ≠ 1 ⇒

[m]x^2-4x-5=0[/m] или [m]x^2-14x+5=0[/m]

x_(1)=-1;x_(2)=5 или x_(3)=7-sqrt(11); x_(4)=7+sqrt(11)

О т в е т.

a)x_(1)=-1;x_(2)=5 ; x_(3)=7-sqrt(11); x_(4)=7+sqrt(11)

б)[red]-1 ∈ [-2;3][/red]