Задать свой вопрос   *более 50 000 пользователей получили ответ на «Решим всё»

Задача 29198 ...

Условие

5. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Пусть М — середина отрезка AD, а N —произвольная точка отрезка ВС. Пусть К —пересечение отрезков СМ и DN, a L — пересечение отрезков MN и АС. Найдите все возможные значения площади треугольника DMК , если известно, что AD:ВС = 3:2, а площадь треугольника ABL равна 4.

математика 10-11 класс 5438

Решение

Δ LNC подобен Δ LMА по двум углам:
∠ LCN = ∠ LAM - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей AC
∠ LNC = ∠ LMA - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей MN

Из подобия следует пропорциональность сторон
[b] NL : LM=NC:AM [/b]

Δ NKC подобен Δ DKM по двум углам:
∠ CNK = ∠ KDM - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей ND
∠NCK = ∠ DMK - внутренние накрест лежащие при BC||AD и секущей CM

Из подобия следует пропорциональность сторон
[b]NK : KD=NC:MD [/b]

Из полученных пропорций c учетом АМ=MD
NL : LM=NK : KD
По теореме, обратной теореме Фалеса, получаем, что
LK || AD
Но AD||BC
Значит,
LK || AD || BC

По условию AD:BC=3:2
Обозначим AD=3x; BC=2x
Тогда
AM=MD=3x/2

Обозначим высоту треугольника DMK через h.
Высоту трапеции через Н.
Δ APL подобен Δ ABC ( PL || BC)
PL : BC=h:H
PL=(h/H)*BC

Так как по условию

[b]S( Δ ABL)=4[/b]

И с другой стороны
S( Δ ABL)=(1/2)PL*H,

4=(1/2)*(h/H)*BC*H

[b] 4=x*h [/b]

S(Δ DMK)=(1/2)*(3x/2)*h=(3/4)*(xh)=(3/4)*4=3

О т в е т. 3

Написать комментарий

Меню

Присоединяйся в ВК