Задача 45297 Найти интеграл...

sombo

2020-03-24 13:59:55

Найти интеграл

sova

2020-03-24 14:23:29

★

7-2x-x^2=-(x^2+2x-7)=-(x^2+2x+1-8)=8-(x-1)^2

х-1=t

x=t+1
dx=dt

[m]\int \frac{(4x+3)}{\sqrt{7-2x-x^2}}dx=\int \frac{4(t+1)+3)}{\sqrt{8-t^2}}dt=\int \frac{4t}{\sqrt{8-t^2}}dt+\int \frac{7}{\sqrt{8-t^2}}dt[/m]


Первый интеграл считаем по формуле

∫ du/sqrt(u)=2u

u=8-t^2

du=-2t*dt


[m]\int \frac{4t}{\sqrt{8-t^2}}dt=-2\int \frac{(-2t)}{\sqrt{8-t^2}}dt=-2\cdot \sqrt{8-t^2}[/m]

Второй табличный:
∫ du/sqrt(a^2-u^2)=arcsin[m]\frac{u}{a}[/m]

[m]\int \frac{7}{\sqrt{8-t^2}}dt[/m]=7arcsin[m]\frac{t}{2\sqrt{2}}[/m]

О т в е т. -2sqrt(7-2x-x^2)+7 arcsin[m]\frac{x-1}{2\sqrt{2}}[/m]+C