Задача 11561 Найдите все значения параметра a, при...

vk132742342

15 ноября 2016 г.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения

system{x²+y²=a;2xy=a–1}

SOVA

15 ноября 2016 г.

★

Подставим вместо а во второе уравнение x²+y²
Получим систему
{x²+y²=a
{2xy=x²+y²–1
или
{x²+y²=a
{(x–y)²–1=0

Второе уравнение равносильно совокупности двух уравнений, значит вся система равносильна совокупности двух систем
1)
{x²+y²=a
{x–y=1

или

2)
{x²+y²=a
{x–y=–1

Решаем первую способом подстановки

x²+(x–1)²=a
x²+1–2x+x²=a
или
2x²–2x–(а–1)=0
D=4+4·2(а–1)=4+8а–8=8a–4
Уравнение имеет один корень при а=1/2
При D > 0 уравнение имеет 2 корня
x₁=1–√2a–1 или x₂=1+√2a–1
2)
Решаем вторую систему способом подстановки

x²+(1+x)²=a
x²+1+2x+x²=a
или
2x²+2x–а+1=0
D=4+8(a–1)=8a–4
Уравнение имеет .
x₃=–1–√2a–1 или x₄=–1+√2a–1

Чтобы решений было ровно два, необходимо и достаточно, чтобы было две точки пересечения окружности и гиперболы

О т в е т. а=1/2