Задача 19366 Найти асимптоты и построить график...
Условие
y = (2-x^2)/sqrt(9x^2-4)
p.s. больше всего интересно как исследовать функцию на возрастание и убывание в промежутка от -2/3 до 0, и от 2/3 до 0. Ибо по идее производной функции там не существует из-за ОДЗ по корню, собственно тоже можно сказать и про саму функцию. Однако она все таки имеет графическое отображение на этом промежутке, по крайней мере если верить ответу.
Решение
9x^2-4 > 0 ⇒ (3x-2)(3x+2) > 0 ⇒
x ∈(- бесконечность;-2/3)U(2/3;+ бесконечность)
y`=(2-x^2)`*sqrt(9x^2-4)-(sqrt(9x^2-4))`*(2-x^2)/(9x^2-4);
y`=-x*(9x^2+10)/(9x^2-4)^(3/2)
y`=0 при х=0
х=0 не принадлежит ОДЗ.
На (- бесконечность; -2/3) y` > 0 функция возрастает
На (2/3; + бесконечность ) y` < 0 функция убывает
х=-2/3 и х=2/3 - вертикальные асимптоты.
lim _(x→ - 2/3 - 0)f(x)=+∞
lim _(x→ 2/3+0)f(x)=+∞
См. график.