Задача 13906 Помогите решить интегралы, пожалуйста....
Условие
Решение
x^3-2x^2+x=x*(x^2-2x+1)=x*(x-1)^2
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие дроби:
(А/х) + (В/(х-1))+(С/(х-1)^2)=(2x^2-3x+3)/(x*(x-1)^2).
Приводим дроби слева к общему знаменателю и приравниваем числители:
A*(x-1)^2+Bx*(x-1)+Cx=2x^2-3x+3
При х=0
А=3
При х=1
С=2
При х=2
А+2В+2С=8-6+3⇒ В=-1
Данный интеграл равен сумме трех интегралов:
∫(3dx/х) + ∫(-dx/(х-1))+∫(2dx/(х-1)^2)
О т в е т. 3ln|x|-ln|x-1|-(3/(x-1))+C
2)
Подынтегральная дробь раскладывается на простейшие дроби:
(А/х) + ((Mx+N)/(х^2+1))=(1)/(x*(x^2+1)).
Приводим дроби слева к общему знаменателю и приравниваем числители:
A*(x^2+1)+(Mx+N)*x=1
Ax^2+A+Mx^2+Nx=1
{A+M=0 ⇒ M=-A=-1
{N=0
{A=1
Данный интеграл равен сумме двух интегралов:
∫(dx/х) + ∫(-хdx/(х^2+1))
О т в е т. ln|x|-(1/2)ln|x^2+1|+C
3)
Замена переменной
sqrt(x+9)=t
Возводим в квадрат
х+9=t^2
dx=2tdt
Данный интеграл равен
∫(2t^2dt)/(t^2-9)=2*∫(t^2-9+9)dt/(x^2-9)=
=2∫(1+(9/(t^2-9)))dt=2t+(9/2*3)ln|(t-3)/(t+3)|+C=
=2sqrt(x+9)+(3/2)*ln|(sqrt(x+9)-3)/(sqrt(x+9)+3)|+C