Задача 52962 ...
Условие
(|x| – 5)2 + (y – 4)2 = (2 – |x|/x)2.
Среди всех прямых, касающихся этой кривой в двух точках, найдите ту прямую, которая наименее удалена от точки с координатами (10 – 4√6; 6).
Решение
|x|=x
Получаем окружность: (x–5)2+(y–4)2=12
При x < 0
|x|=–x
Получаем окружность: (–x–5)2+(y–4)2=32 ⇒ (x+5)2+(y–4)2=32
см. рис.
Пусть А (x1;y1) принадлежит первой окружности:
(x1–5)2+(y1–4)2=12
В (x2;y2) принадлежит второй окружности:
[b] (x2+5)2+(y2–4)2=32
Составим уравнения прямой О1А
[m]\frac{x-5}{x_{1}-5}=\frac{y-4}{y_{1}-4}[/m]
и прямой О2В
[m]\frac{x+5}{x_{2}+5}=\frac{y-4}{y_{2}-4}[/m]
Прямые параллельны, значит их угловые коэффициенты равны.
[m]\frac{y_{2}-4}{x_{2}+5}=\frac{y_{1}-4}{x_{1}-5}[/m]
Получаем систему уравнений:
{(x1–5)2+(y1–4)2=12
{(x2+5)2+(y2–4)2=32
{[m]\frac{y_{2}-4}{x_{2}+5}=\frac{y_{1}-4}{x_{1}-5}[/m]
Находим координаты точек А и В
Составляем уравнение касательной АВ.
Касательная АВ расположена ближе всех к точке М
