Задача 30932 3... 4. . Даны уравнения плоскостей...

vk150719192

11 ноября 2018 г. в 16:29

3...

4. . Даны уравнения плоскостей P1: 5 х – 3у +2z – 5 = О,

Р2: 2х–у– z–1 = 0 и координаты точек Mi(l;l;l), М2(0;2;–1), М^2;–1;3. Найти: а) уравнение плоскости Р3, проходящей через точку М, и параллельной плоскости π;

б) уравнение плоскости Р4, проходящей через точку М2 и перпендикулярной плоскостям P1 и Р2;

в) уравнение плоскости P5, проходящей через точки М1 М2, М3;

г) угол между плоскостями π и Р2;

д) расстояние от точки М3 до плоскости Р3;

е) общее уравнение прямой L задано уравнениями плоскостей P1 и Р2, написать каноническое и параметрические уравнения прямой;

ж) уравнение прямой L, проходящей через точку М2 и параллельной прямой L;

з) расстояние от точки М3 до прямой L

sova

11 ноября 2018 г. в 21:50

★

3.
a)
Cкалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат.
a·b=2·3+1·(–6)+(–2)·2=6–6–4=–4
б)
(2·a–3·b)·(a+2·b)=
=2·a·a–3·b·a+4·a·b–6·b·b=
=2·(2·2+1·1+(–2)·(–2))–3(–4)+4·(–4)–6·(3·3+(–6)·(–6)+2·2)=
=2·9+12–16–49= – 35

в) Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равна модулю векторного произведения.
( см. рис.1)
S=|·a×b|=√(–10)²+(–10)²+(–15)²=√425

г) Объем призмы равен модулю смешанного произведения векторов.
Смешанное произведение равно определителю третьего порядка, составленному из координат данных векторов. ( cм. рис.2)

4.
а)
A·(x–x₁)+B·(y–y₁)+C·(z–z₁)=0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M₁ и имеющей нормальный вектор
n=(A;B;C)

P₁ и Р₃ параллельны. Значит их нормальные векторы совпадают.
Нормальный вектор плоскости Р₁:
n₁=(5;–3;2)
Р₃: 5·(x–1)–3·(y–1)+2·(z–1)=0
Р₃: 5х –3у+2z–4=0

б) Нормальный вектор плоскости Р₄ ортогонален
n₁=(5;–3;2) и n₂=(2;–1;–1)
n₄=n₁×n₂=(5;9;1)
(cм. рис.3)
A·(x–x₂)+B·(y–y₂)+C·(z–z₂)=0 – уравнение плоскости, проходящей через точку M₂ и имеющей нормальный вектор
n=(A;B;C)

P₄:5·(x–0)+9·(y–2)+1·(z+1)=0
5x+9y+z–17=0

в)
P₅ – уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Пусть M(x;y;z) – произвольная точка плоскости.
Тогда векторы
M₁M; M₁M₂; M₁M₃ компланарны.

Условие компланарности – равенство 0 определителя третьего порядка составленного из координат данных векторов. см. рис. 4

г) угол между плоскостями P₁ и P₂ – угол между нормальными векторами n₁ и n₂

cos ∠ (n₁,n₂)=n₁ · n₂/( |n₁|·|n₂|)=(5·2+(–3)·(–1)+2·(–1))/√5²+(–3)²+2²·√2²+(–1)²+(–1)²=6/(√38·√6) =√3/19
∠ (n₁,n₂)=arccso(√3/19)

д) Расстояние от точки M₃ До плоскости Р₃ находим по формуле ( cм. рис.5)

е) Находим общую точку плоскостей.
Пусть х=0
{–3y+2z–5=0
{–y–z–1=0
Умножаем второе уравнение на 2 и складываем с первым
–5у–7=0 ⇒ у=–1,4
z=–y–1=1,4–1=0,4
Направляющий вектор прямой – ортогонален векторам n₁ и n₂
Это вектор n₄=n₁×n₂=(5;9;1) ( см. б)

M_o(0;–1,4;0,4) – точка принадлежащая прямой L

Уравнение прямой L– как уравнение прямой, проходящей через точку с заданным направляющим вектором.
(x–0)/5=(y+1,4)/9=(z–0,4)/1 – каноническое

Параметризуем:
(x–0)/5=(y+1,4)/9=(z–0,4)/1 = t
Параметрические уравнения:
{x=5t;
{y=9t–1,4
{z=t+0,4

ж)
Прямая L₁ имеет тот же направляющий вектор, что и прямая L
Уравнение прямой L₁ как уравнение прямой проходящей через точку с заданным направляющим вектором.
(x–0)/5=(у–2)/9=(z+1)/1

з) См. рис. 6