Задача 34168 В правильном тетраэдре MABC найдите угол...

mumiya

2019-03-04 15:09:13

В правильном тетраэдре MABC найдите угол между прямыми AB и CM.
(стереометрия)

sova

2019-03-04 16:48:44

★

Угол между ребром СМ и плоскостью АВС - угол между СМ и проекцией СМ на плоскость АВС

Проекцией СМ на плоскость АВС является СО
( О -основание высоты тетраэдра, точка пересечения биссектрис, высот и медиан треугольника АВС.
Так как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершин, то
СО = (2/3) СК,
СК- медиана и высота.

Пусть ребро тетраэдра равно а.

СК = a*sqrt(3)/2

СО =(2/3)*a*sqrt(3)/2=a*sqrt(3)/3

Из прямоугольного треугольника МСО:
сos ∠ MCO = CO/CM=(asqrt(3)/3) / a = sqrt(3)/3
∠ MCO [b]=arccos(sqrt(3)/3)[/b].