Задача 12894 Дано уравнение cos3x*cos2x=cosx. А)...
Условие
А) Решите уравнение.
Б)Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7Pi/2;-11Pi/4]
Решение
cosα*cosβ=(1/2)*(cos(α+β)+cos(α-β)):
(1/2)*(cos(3x+2x)+cos(3x-2x))=cosx
умножаем уравнение на 2
cos5x+сosx=2cosx;
cos5x-cosx=0.
По формуле
сosα-cosβ=-2*sin((α+β)/2)*sin((α-β)/2)
-2*sin((5x+x)/2)* sin((5x-x)/2)=0;
sin3x*sin2x=0
sin3x=0 или sin2x=0
3x=πk, k∈Z или 2x=πn, n∈Z;
x=(π/3)*k, k∈Z или x=(π/2)*n,n∈Z.
Б) Из первой серии ответов.
При k=-9
(π/3)*(-9)=-3π
–7π/2 < -3π < –11π/4- верно, так как
-28π/4 < -24π < –22π/4.
При k=-10
(π/3)*(-10)=-10π/3
–7π/2 < -10π/3 < –11π/4- верно, так как
-42π/12 < -40π/6 < –33π/4.
Из второй серии ответов.
При n=-6
х=(π/2)*(-6)=-3π
–7π/2 меньше или равно -3π < –11π/4- верно, так как
–14π/4 меньше или равно -12π/4 < –11π/4.
При n=-7
х=(π/2)*(-7)
–7π/2 меньше или равно -7π/2 < –11π/4- верно.
см. рисунок.
О т в е т. A)(π/3)*k,(π/2)*n, k, n∈Z
Так как при k=3s и n=2p корни первой и второй серий ответов совпадают, то ответ можно записать в виде:
(π/3)*k,(π/2)+πn, k, n∈Z
или в виде:
±(π/3)+πk,(π/2)*n, k, n∈Z.
Б)х=-3π; -х=- 10π/3; х= –7π/2 - корни, принадлежащие отрезку [–7π/2;–11π/4] 