Задача 31044 Определить тип кривой, найти ее полуоси,...

vk238073561

2018-11-15 10:19:09

Определить тип кривой, найти ее полуоси, эксцентриситет, координаты вершин и фокусов, уравнение директрис и асимптот(если они имеются). Сделать чертеж x^(2)-4y^(2)-12x+8y-7=0

sova

2018-11-15 13:03:40

Выделяем полные квадраты
(x^2-12x)-4(y^2-2y) - 7=0;
(x^2-2*x*6+6^2)-4*(y^2-2*y*1+1)-6^2+4-7=0
(x-6)^2-4*(y-1)^2=39
(x-6)^2/39 - (y-1)^2/(39/4) =1 - уравнение гиперболы
с центром в точке O_(1) (6;1)
a=sqrt(39)
b=sqrt(39)/2

b^2=c^2-a^2 ⇒
c^2=b^2+a^2=(39/4)+39=39*5/4
c=sqrt(195)/2
Эксцентриситет:
ε=c/a=sqrt(5)/2 > 1
(характеризует вытянутость основного прямоугольника гиперболы).

Гипербола
(x`)^2/39 -(y`)^2/(39/4)=1
имеет фокусы в точках (- sqrt(195)/2;0) и (sqrt(195)/2;0).
и асимптоты
y=± b/a=± (1/2)x
Фокусы данной гиперболы с учетом смещения центра О (0;0) в точку О_(1) (6;1) имеют вид:
F_(1)(6 - sqrt(195)/2;1); F_(2)( 6+sqrt(195)/2;1)
Асимптоты данной гиперболы с учетом смещения:

у= (1/2)x - 2 и y=-(1/2)x+4

Асимптоты - диагонали основного прямоугольника гиперболы. см. рис.