Задача 21449 log(1-9x^2)(|x|-2)^2 /...
Условие
Решение
{1-9x^2 > 0 ⇒ (-1/3;1/3)
{1-9x^2≠ 1 ⇒ х≠0
{(|x|-2)^2 > 0 ⇒ |x|-2≠0 ⇒ х ≠ ± 2
{14x^2+4x+(1/4) > 0 ⇒ (-бесконечность; (-4-sqrt(2))/28) U ((-4+sqrt(2))/28;+ бесконечность)
ОДЗ: х∈ ( -1/3; (-4-sqrt(2))/28)U
U((-4+sqrt(2))/28;0)U(0;1/3)
На рисунке
a=(-4-sqrt(2))/28)
b=(-4+sqrt(2))/28)
Применяем формулу логарифма степени (2 перемещаем в показатель) и применяем формулу перехода к другому основанию
log_(c)a/2log_(c)b=log_(c)a/log_(c)b^2=log_(b^2)a
Получаем неравенство
log_(b^2)a меньше или равно 1
Применяем метод рационализации логарифмических неравенств, которых с учетом ОДЗ позволяет свести решение неравенства к неравенству:
(b^2-1)*(a-b^2) меньше или равно 0
или
(14x^2+4x+(1/4)-1)*(14x^2+4x+(1/4)+1)*((|x|-2)^2-(14x^2+4x+(1/4)^2) меньше или равно 0
(14x^2+4x-(3/4))*(14x^2+4x+(5/4))*(|x|-2-14x^2-4x-(1/4))*(|x|-2+14x^2+4x+(1/4)) меньше или равно 0
14x^2+4x+(5/4) > 0 при любом х, так как D=16-14*5 < 0
Решаем неравенство
(14x^2+4x-(3/4))*(|x|-14x^2-4x-(9/4))*(|x|+14x^2+4x-(7/4)) меньше или равно 0
методом интервалов
14x^2+4x-(3/4)=0
D=16+4*14*(3/4)=16+42=58
x1=(-4-sqrt(58))/28 или х2=(-4+sqrt(58))/28
x1=(-4-sqrt(58))/28 находится левее (-1/3)
(-4-sqrt(58))/28 < -1/3
(1/3)-(4/28) < sqrt(58)/28
16/(3*28) < sqrt(58)/28
(16/3) < sqrt(58)
256/9 < 58
х2=(-4+sqrt(58))/28
расположена между
0 и (1/3)
Обозначена на рисунке
с=(-4+sqrt(58))/28
Раскрываем модуль по определению
При х > 0
|x|-14x^2-4x-(9/4)=-14x^2-3x-(9/4) < 0 при любом х, D < 0
|x|+14x^2+4x-(7/4)=14x^2+5x-(7/4) D=123
x3=(-5-sqrt(123))/28 и x4=(-5+sqrt(123))/28
При х < 0
|x|-14x^2-4x-(9/4)=-14x^2-5x-(9/4) < 0 при любом х, D < 0
|x|+14x^2+4x-(7/4)=14x^2+3x-(7/4) D=107
x5=(-3-sqrt(109))/28 и x6=(-3+sqrt(109))/28
См. рисунки. Красным цветом у=14x^2+4x+(1/4)
При нахождении ОДЗ ( отмечено на оси Ох) жирным цветом
Графики у=14x^2+4x-(7/4) и у=(14x^2+4x-(9/4) изображены синим и зеленым цветом.
На ОДЗ обе функции отрицательны.
Остается решить неравенство
14x^2+4x-(3/4) меньше или равно 0
С учетом ОДЗ ответ.
О т в е т.( -1/3; (-4-sqrt(2))/28)U((-4+sqrt(2))/28;0)U(0;(-4+sqrt(58))/28]
