Задача 24156 Окружность радиусом 6 вписана в...

figedu

24.02.2018

Окружность радиусом 6 вписана в треугольник ABC. Окружности с радиусами 3/2 и 8/3 , которые вписаны в углы треугольника A и C соответственно, касаются первой окружности внешним образом.
a) Докажите , что tgA=24/7
б) Найдите площадь треугольника ABC.

SOVA

25.02.2018

★

а)
О- центр окружности, вписанной в треугольник АВС - точка пересечения биссектрис.
АО- биссектриса.
О1 и О2 - центры окружностей,вписанных в угол А и в угол С соответственно.
АО1 - биссектриса угла А, совпадает с биссектрисой АО.
СО2- биссектриса угла С, совпадает с биссектрисой CO.

Радиусы ОN, O1M и O2F перпендикулярны касательной АС в точках касания.

Рассмотрим прямоугольную трапецию
MO1ON
OO1=(3/2)+6=15/2
OP=6 - (3/2)=9/2
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
OO1P
O1P=sqrt((15/2)^2-(9/2)^2)=6
tg ∠ OO1P=OP/OO1=(9/2)/6=9/12=3/4
tg ∠ (A/2)=tg ∠ OO1P=3/4
tg ∠ A= 2tg( ∠ (A/2))/(1-tg^2( ∠ (A/2)))=2*(3/4)/(1-9/16)=

=24/7

б)
Из подобия треугольников
АО1М и АОN
AM: AN=O1M : ON=1,5 : 6 =1 : 4 (AM одна часть; АN - четыре таких части, значит MN - три таких части)
MN=OP=6

АМ=6:3=2
AN=AM+MN=2+6=8

Аналогично для угла С

OO2=26/3
OT=10/3
O2T=sqrt((26/3)^2-(10/3)^2)=8

CF: CN=(8/3):6 =8/18=4/9
FN=O2T=8 и содержит пять частей
8:5=1,6 в одной части
СN=1,6*9=14,4

AC=AN+NC=8+14,4=22,4

tg (∠ C/2)=OT/O2T=10/24=5/12
tg ∠ C=120/119


1+tg^2 альфа =1/cos^2 альфа ⇒

cos^2 ∠ A=1/(1+(24/7)^2)=49/625
cos ∠ A =7/25
sin ∠ A =24/25

Пока думаю, как найти площадь,зная то, что уже вычислено