Задача 29494 6.51) log(x)((6-5x)/(4x+5)) > 1...

slava191

2018-09-07 00:28:18

6.51) log(x)((6-5x)/(4x+5)) > 1

sova

2018-09-07 15:02:05

ОДЗ:
{x>0;
{x ≠ 1
{(6-5x)/(4x+5)>0 ⇒ (5x-6)/(4x+5) <0 ;_+_ (-5/4) _ -_ (6/5) _+_
6/5=1,2
[b] ОДЗ: х ∈(0;1)U(1;1,2)[/b]

Так как 1=log_(x)x, неравенство принимает вид:

log_(x)(6-5x)/(4x+5) > log_(x) x.

Применяем метод рационализации логарифмических неравенств:
(см. приложение, разность логарифмом может быть заменена разностью, которая есть в приложении, а знак неравенства остается таким же)

(x-1)*((6-5x)/(4x+5) -x) > 0;

(x-1)(6-5x-4x^2-5x)/(4x+5) > 0;

(x-1)(4x^2+10x-6)/(4x+5) < 0

4x^2+10x-6=0
D=10^2-4*4*(-6)=196
Раскладываем квадратный трехчлен на множители
4x^2+10x-6=4*(x-(-3))*(x-(1/2)

4*(x-1)(x+3)(x-(1/2))/(4x+5) <0

Применяем метод интервалов:

__+__ (-3) __-__ (-5/4) __+__ (1/2) __-__ (1) __+__

C учетом ОДЗ получаем ответ:
((1/2);1)