Задача 28693 Срочно x*(y)'''+(y)''=1 ...
Условие
Решение
Замена
z(x)=y``(x)
Тогда
z`(x)=y```(x)
Получаем дифференциальное уравнение первого порядка
x*z`+z=1
z`+(1/x)z=1/x [b]#[/b]
Линейное уравнение первого порядка
Решаем однородное уравнение
z`+(1/x)z=0
это уравнение с разделяющимися переменными
dz/z=-dx/x
ln|z|=-ln|x|+lnC
ln|z|=ln(C/|x|)
z=C/x
Применяем метод вариации произвольной постоянной
z(х)=С(х)/х
Находим z`
z`=(C`(x)*x-C(x))/x^2
Подставляем z и z` в уравнение [b]#[/b]
(C`(x)/x)-(C(x))/x^2)-(C(x)/x^2)=1/x
С`(x)=1
C(x)=x+C_(1)
z(x)=(x+C_(1))/x=1+(C_(1)/x)
y``(x)=1+(C_(1)/x)
y`(x)= ∫( 1+(C_(1)/x))dx=x+C_(1)ln|x| +C_(2)
y(x)= ∫( x+C_(1)ln|x| +C_(2))dx=
=(x^2/2)+C_(1) ∫ lnxdx+C_(2)x+C_(3)=
=[вычисляем интеграл ∫ lnxdx по частям u=lnx; dv=dx]=
=(x^2/2)+C_(1)*(x*lnx-x)+C_(2)x+C_(3)
О т в е т. у(х)=(x^2/2)+C_(1)*(x*lnx-x)+C_(2)x+C_(3)