Задача 52946 ...

slava191

2020-07-31 22:28:19

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно 4sqrt(3) . На рёбрах АВ и SB отмечены точки М и К соответственно, причём AM = 5, SK: КВ = 4:3. Плоскость α перпендикулярна плоскости АВС и содержит точки М и К.

а) Докажите, что плоскость а содержит точку С.

б) Найдите площадь сечения пирамиды SABC плоскостью α .

sova

2020-08-02 10:22:55

a)
Пирамида [i]правильная[/i] в основании [i]равносторонний[/i] треугольник.
AB=BC=AC=6

SA=SB=SC=4sqrt(3)

O-центр вписанной и описанной окружностей.

АО=ВО=СО=asqrt(3)/3=6sqrt(3)/3=[b]2sqrt(3)[/b];

Δ SOB - прямоугольный: SO ⊥ пл АВС

SB=4sqrt(3)

BO=2sqrt(3) ⇒ ∠ BSO=30 ° ⇒ SO=6


Проведем KP || SO ; Р ∈ ВО, а значит [b] Р ∈ BN[/b]

Δ SOB и Δ KPB подобны.

KP ⊥ пл. АВС.

Плоскость α проходит через перпендикуляр к другой плоскости и потому перпендикулярна пл. АВС.

Из подобия треугольников Δ SOB и Δ KPB

SO:KP=SB:KB ⇒ 6:KP=7:3 ⇒ [b]KP[/b]=[m]\frac{18}{7}[/m]

SK=[m]\frac{3}{7}SB=\frac{3}{7}\cdot 4\sqrt{3}=\frac{12\sqrt{3}}{7}[/m]

[red]BР[/red]=[m]\frac{6\sqrt{3}}{7}[/m]- катет против угла в 30 °


Докажем, что точка пересечения точка Е - точка пересечения СМ и ВN
совпадает с точкой P ( cм. рис. 2)

[b]Е ∈ BN[/b]


В Δ АВС: СТ=BN=3sqrt(3) - высоты равностороннего треугольника.

АМ=5; ВМ=1 ⇒ АТ=3; TM=2;

По теореме Пифагора из прямоугольного Δ CTM:

CМ^2=CT^2+TM^2=(3sqrt(3))^2+2^2=27+4=31

ВN - медиана, высота и [i]биссектриса[/i] Δ АВС ⇒

BN делит сторону СМ в отношении

СE:EM=CB:BA=6:1

CE=[m]\frac{6\sqrt{31}}{7}[/m]; EM=[m]\frac{\sqrt{31}}{7}[/m];

По теореме косинусов из Δ ВЕМ:

ЕМ^2=ВЕ^2+BM^2-2BE*BM*cos30 ° ⇒

[m](\frac{\sqrt{31}}{7})^2=ВЕ^2+1-2\cdot BE \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} [/m];

[m]BE^2-\sqrt{3}\cdot BE+\frac{18}{49}=0[/m]

D=[m](\sqrt{3})^2-4\cdot \frac{18}{49}=\frac{75}{49}[/m]

ВЕ=[m]\frac{\sqrt{3}\pm\frac{5\sqrt{3}}{7}}{2}[/m]

[red]ВЕ[/red]=[m]\frac{6\sqrt{3}}{7}[/m] или ВЕ=[m]\frac{\sqrt{3}}{7}[/m]
( не удовл условию задачи, тогда СЕ ≠ =[m]\frac{6\sqrt{31}}{7}[/m]

Так как [b] Р ∈ BN[/b] и [b] Е ∈ BN[/b]
и
[red]ВЕ=BP[/red] , то P=Е


б)
S_( Δ КМС)=[m]\frac{1}{2}CM\cdot KP=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{31}\cdot \frac{18}{7}=[/m]

[m]=\frac{9}{7}\sqrt{31}[/m]

О т в е т. S_(сечения)=[m]=\frac{9}{7}\sqrt{31}[/m]