Задача 36509 ...

vk288952222

2019-04-28 16:05:43

log^2(2)(x-x^2+2) +3log(1/2)(x-x^2+2) ≤ -2

sova

2019-04-28 16:31:51

★

[b]ОДЗ:[/b]
x-x^2+2>0 ⇒ x^2-x-2 < 0 D=9; x_(1)=-1;x_(2)=2
[b]x ∈ (-1;2)[/b]

log_(1/2)(x-x^2+2)=log_(2^(-1))(x-x^2+2)=-log_(2)(x-x^2+2)

Данное неравенство принимает вид

log^2_(2)(x-x^2+2)-3log_(2)(x-x^2+2) ≤ -2

log^2_(2)(x-x^2+2)-3log_(2)(x-x^2+2) +2 ≤ 0

Квадратное неравенство

Замена переменной
log_(2)(x-x^2+2)=t

t^2 - 3t + 2 ≤ 0

D=9-4*2=1

t_(1)=1; t_(2)=2

1 ≤ t ≤ 2

Обратный переход

1 ≤ log_(2)(x-x^2+2) ≤ 2

log_(2)2 ≤ log_(2)(x-x^2+2) ≤ log_(2)4

По свойству монотонного возрастания логарифмической функции

2 ≤ x- x^2+2 ≤ 4

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

{ x- x^2+2 ≤ 4 ⇒ x^2-x+2 ≥ 0 верно при любом х, D < 0
{ x- x^2+2 ≥ 2 ⇒ x - x^2 ≥ 0 ⇒ x*(1-x) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1

О т в е т системы [0;1]
Найденное решение входит в ОДЗ

О т в е т. [0;1]