Задача 36509 ...

vk288952222

28 апреля 2019 г. в 16:05

log²(2)(x–x²+2) +3log_1/2(x–x²+2) ≤ –2

sova

28 апреля 2019 г. в 16:31

★

ОДЗ:
x–x²+2>0 ⇒ x²–x–2 < 0 D=9; x₁=–1;x₂=2
x ∈ (–1;2)

log_1/2(x–x²+2)=log_2^–1(x–x²+2)=–log₂(x–x²+2)

Данное неравенство принимает вид

log²₂(x–x²+2)–3log₂(x–x²+2) ≤ –2

log²₂(x–x²+2)–3log₂(x–x²+2) +2 ≤ 0

Квадратное неравенство

Замена переменной
log₂(x–x²+2)=t

t² – 3t + 2 ≤ 0

D=9–4·2=1

t₁=1; t₂=2

1 ≤ t ≤ 2

Обратный переход

1 ≤ log₂(x–x²+2) ≤ 2

log₂2 ≤ log₂(x–x²+2) ≤ log₂4

По свойству монотонного возрастания логарифмической функции

2 ≤ x– x²+2 ≤ 4

Двойное неравенство равносильно системе неравенств:

{ x– x²+2 ≤ 4 ⇒ x²–x+2 ≥ 0 верно при любом х, D < 0
{ x– x²+2 ≥ 2 ⇒ x – x² ≥ 0 ⇒ x·(1–x) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1

О т в е т системы [0;1]
Найденное решение входит в ОДЗ

О т в е т. [0;1]