Задача 31439 Найти уравнения плоскости, проходящей...

vk169584462

2018-11-30 15:31:56

Найти уравнения плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x+5y+z=0 y-z+4=0 и образующей угол 45 градусов с плоскостью x-4y-8z+12=0

sova

2018-11-30 21:40:31

Пучок плоскостей, проходящих через линию пересечения
{x+5y+z=0
{y-z+4=0
принимает вид
(x+5y+z)+ λ (y-z+4)=0

Запишем в виде:
х+(5+ λ )*у +(1- λ )z+4 λ =0

Нормальный вектор :
vector{n}=(1;5+ λ ; 1- λ )

Так как искомая плоскость образует угол 45 °
с плоскостью x–4y–8z+12=0 ( vector{n_(1)}=(1;-4;-8)

а угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами

cos φ =|1*1-4*(5+ λ )-8*(1- λ )|/(sqrt(1^2+(5+ λ )^2+(1- λ )^2)*sqrt(1^2+(-4)^2+(-8)^2))

cos φ =1/sqrt(2)

|4 λ - 27|/(sqrt(2λ^2+8λ+27)*sqrt(81)=1/sqrt(2)

Возводим в квадрат:

(16 λ^2-216 λ +729)/(162 λ ^2+648 λ +2187) =1/2

32λ^2-432 λ +1458=162 λ ^2+648 λ +2187

130 λ^2 +1080 λ + 729 =0

D/4=540^2-130*729=291600- 94770=196830

λ _(1,2)=(-1080 ± sqrt(196830))/130

О т в е т. [b]130(x+5y+z) + (-1080± sqrt(196830) (y-z+4)=0[/b]