Задача 41731 ...
Условие
Решение
Можно записать систему и так:
{x`(t)=x+y
{y`(t)=4y-2х
Выразим из первого уравнения y
y=x`(t)-x
тогда
y`=x``(t)-1
и подставим во второе уравнение:
x``(t)-1=4*(x`(t)-x)-2x
Решаем второе уравнение:
x``(t)-4*x`(t)+6x-1=0
Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
x``(t)-4*x`(t)+6x = 1
Решаем однородное уравнение:
x``(t)-4*x`(t)+6x=0
Cоставляем характеристическое уравнение:
k^2-4k+6=0
D=4^2-4*6=-8
sqrt(D)=sqrt(8)* [b]i[/b]=2sqrt(2)* [b]i[/b]
k_(1,2)= (4 ± 2sqrt(2)* [b]i[/b])/2
k_(1) =2 - sqrt(2)* [b]i[/b]; k_(2) =2 + sqrt(2)* [b]i[/b]
α =2
β =sqrt(2)
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y=e^2*[b]([/b]C_(1)cos(sqrt(2))t +C_(2)sin(sqrt(2)t)[b])[/b]
Из второго уравнения системы находим
2x=4y-y`
x=2y-(1/2)y`
y`=e^2*[b]([/b]C_(1)*(-sin(sqrt(2)t)*(sqrt(2)t)` +C_(2)*cos(sqrt(2)t)*(sqrt(2)t)`[b])[/b]
x=2e^2*(C_(1)cos(sqrt(2))t +C_(2)sin(sqrt(2)t)-e^2*sqrt(2)*[b]([/b]C_(1)*(-sin(sqrt(2)t) +C_(2)*cos(sqrt(2)t)[b])[/b]
x=e^2*[b]([/b]2C_(1)cos(sqrt(2))t +2C_(2)sin(sqrt(2)t+sqrt(2)C_(1)sin(sqrt(2)t)-sqrt(2)C_(2)cos(sqrt(2)t[b])[/b]
О т в е т.
x=e^2*[b]([/b](2C_(1)-sqrt(2)C_(2))*cos(sqrt(2))t +(2C_(2)+sqrt(2)C_(1))*sin(sqrt(2)t)[b])[/b]
y=e^2*[b]([/b]C_(1)cos(sqrt(2))t +C_(2)sin(sqrt(2)t)[b])[/b]
