Задача 31581 sqrt(2cos^2x-sqrt(2))+sqrt(2)sinx = 0,...

slava191

5 декабря 2018 г. в 10:38

√2cos²x–√2+√2sinx = 0, [–7π; –11π/2] (л13)

sova

5 декабря 2018 г. в 11:00

★

ОДЗ:
{2cos²x–√2 ≥ 0 ⇒2·cos²x ≥ √2 ⇒ 1+cos2x≥ √2 ⇒

cos2x ≥ √2 –1
Перепишем уравнение :

√2cos²x–√2=–√2·sinx

1)
Если sinx > 0
уравнение не имеет корней

2)
Если sinx ≤0
Возводим в квадрат
2cos²x–√2=2sin²x
2·(cos²x–sin²x=√2
2cos2x =√2
cos2x = √2/2

√2/2 > √2–1

значит корни

2х= ± ( π/4)+2πn, n ∈ Z – удовлетворяют ОДЗ ( см. рис. 1)

х=± ( π/8)+πn, n ∈ Z

С учетом sinx ≤0

x= (–π/8)+2πk, k ∈ Z
или
х=(–7π/8)+2πm, m ∈ Z


б) Указанному отрезку принадлежат корни:

x₁=(–7π/8)–6π= – 55π/8
x₂=(–π/8)–6π= – 49π/8

О т в е т.
а) (–π/8)+2πk, (9π/8)+2πm, k, m ∈ Z
б)– 55π/8; – 49π/8