Задача 22464 Известно, что для всех пар положительных...
Условие
Решение
{x+y=9
{x^2+y^2 > 43
Выразим у из первого и подставим во второе
x^2+(9-x)^2 > 43
x^2-9x+19 > 0
C учетом х > 0
x∈((9+sqrt(5))/2);+ бесконечность)
Найдем, при каких значениях
х ∈[(9+sqrt(5))/2);+ бесконечность)
( обратите внимание левый край включен)
f(x)=x^5+(9-x)^5 принимает наименьшее значение, оно и будет наибольшим значением m
Находим производную
y`=5x^4+5*(9-x)^4*(-x)`=
=5x^4+5*(9-x)^4*(-1)=
=5x^4-5*(9-x)^4=
=5x^4-5*(x-9)^4
(9-x)^2=(x-9)^2, и в любой четной степени так же)
y`=0
5x^4-5*(x-9)^4=0
Раскладываем на множители
5*(x^2-(x-9)^2)*(x^2+(x-9)^2)=0
5*(x-(x-9))*(x+(x-9))*(x^2+(x-9)^2)=0
45*(2x-9)*(x^2+(x-9)^2)=0
2x-9=0
x=4,5 - точка возможного экстремума функции
f(x)=x^5+(9-x)^5
НО
эта точка не входит в промежуток ((9+sqrt(5))/2);+ бесконечность).
Так как производная положительна на этом промежутке, то функция возрастает и наименьшее значение принимает в точке (9+sqrt(5))/2
Находим значение функции в точке (9+sqrt(5))/2.
Применяем формулу биному Ньютона
(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5
(a-b)^5=a^5-5a^4b+10a^3b^2-10a^2b^3+5ab^4-b^5
Cкладываем
(a+b)^5+(a-b)^5=2a^5+2*10a^3b^2+2*5ab^4 ( #)
f((9+sqrt(5))/2)=((9+sqrt(5))/2)^5+(9-((9+sqrt(5))/2))^2=
=((9+sqrt(5))/2)^5+((9-sqrt(5))/2)^5=
применяем (#) при a=9/2; b=sqrt(5)/2
=2*(9/2)^5+20*(9/2)^3*(sqrt(5)/2)^2+10*(9/2)*(sqrt(5)/2)^4=
=2*(9^5+10*9^3*5+5*9*25)/2^5=
=9*(9^4+50*9^2+125)/16=6039
Наименьшее значение функции f(x)=x^5+y^5 на [(9+sqrt(5))/2; + бесконечность) равно 6039
При всех x из интервала ((7+sqrt(5))/2; + бесконечность) f(x) > 6039
(На графике в точке с ординатой 6039 ''дырка'' и затем кривая растет вверх)
Значит наибольшее m=6039
О т в е т. m=6039