Задача 45430 найти коэффициент при x^k в разложении...

bars_tumen

2020-03-27 14:13:05

найти коэффициент при x^k в разложении данного выражения P по полиномиальной формуле, полученный после раскрытия скобок и приведения подобных членов
k=60 , P=(1+x^(14) -x^(4))^(15)

sova

2020-03-27 14:23:35

★

Общий член разложения по полиномиальной формуле имеет вид:
1^(m)*(x^(14))^(n)*(-x^4)^(p)
При этом
m+n+p=15
14n+4p=60 ⇒ 7n+2p=30 ⇒ 2p=30-7n

p=1; n=4 и m=10
p=8; n=2 и m=5
p=15; n=0 и m=0

Итак получаем 3 слагаемых, содержащих x^(60)

a_(1)=P(10;4;1)*1^(10)*(x^(14))^(4)*(-x^(4))^(1)=[m]-\frac{14!}{10!4!}x^{60}=-1001x^{60}[/m]

a_(2)=P(5;2;8)*1^(5)*(x^(14))^(2)*((-x^(4))^(8)=[m]\frac{14!}{8!5!2!}x^{60}=9009x^{60}[/m]

a_(3)=P(0;0;15)*1^(0)*(x^(14))^(0)*((-x^(4))^(15)=x^(60)

Cчитаем и складываем ( приводим подобные):

a_(1)+a_(2)+a_(3)=-1001x^(60)+9009x^(60)+x^(60)=8009x^(60)
О т в е т.