Задача 36227 ...

leydi09

22 апреля 2019 г. в 19:57

Найти сумму ряда
∑ (1/(n²+n−2)) from n=1 to n=∞.

sova

22 апреля 2019 г. в 20:17

★

При n=1 знаменатель обращается в нуль. Задание некорректно!
Так и скажите преподавателю.

Но метод решения таков

Раскладываем знаменатель на множители

n²+n–2=(n–1)(n+2)

а дробь на простейшие ( как в интегрировании)

1/(n²+n–2)= A/(n–1) + B/(n+2)

1=A·(n+2)+B·(n–1)

При n=–2
1=–3B
B=–1/3

При n=1
1=3A
A=1/3

1/(n²+n–2)= (1/3) · (1/(n–1) – 1/(n+2))

Считаю сумму от двух!

S_n=∑ ⁿ ₂ (1/3) · () 1/(n–1) – 1/(n+2) )) =

(1/3) (1–1/4+1/2–1/5+1/4– 1/6 +...

+1/(n–4)–1/(n–1)+1/(n–3)– 1/n+ 1/(n–2) – 1/(n+1)+1/(n–1) – 1/(n+2) )=


=(1/3)· (1 +(1/2)– 1/n –1/(n+1) – 1/(n+2) )


Удобнее записать сумму "лесенкой" : так хорошо просматривается, что сокращается, а что остается


По определению сумма ряда это предел последовательности {S_n}

S= lim_n→∞S_n=(1/3)·(3/2)= 1/2 о т в е т. 1/2