Задача 21928 В последовательности: y(n)=n(n+1)...

vk76022237

01.01.2018

В последовательности: y(n)=n(n+1) разность двух членов с номерами k и l(l < 125 < k) делится на 3^11(три в степени 11). Найти наименьшее значение суммы l+k.

SOVA

01.01.2018

★

y_(k)-y_(l)=k*(k+1)-l*(l+1)=k^2+k-l^2-l=(k^2-l^2)+(k-l)=
=(k-l)*(k+l+1)

По условию разность кратна 3^(11)
Это можно записать так:
(k-l)*(k+l+1)=3^(11)*m
k,l,m - натуральные
l < 125 < k

(k-l)*(k+l+1)=3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*3*m
Слева произведение двух множителей
(k-l) и (k+l+1)
Справа произведение
3 и 3^(10)*m;
3m и 3^(10);
9m и 3^(9)

и так далее.
Рассмотреть различные варианты

Например,
k=126; l=123
k–l=3
значит
k+l=3^(10)·m, но 126+123+1 не кратно 3^(10)·m

k=129; l=120
k–l=9
k+l+1=129+120+1=250 не кратно 3^(9)*m

Если
k-l=3^(5)*m
то
k+l+1 должно быть кратно 3^(6)


l=121
k=607

k-l=486=3^5*2
k+l+1=729=3^6
О т в е т. l+k=121+607=728