Задача 38469 Решите неравенство...

vk248115578

2019-07-01 13:27:24

Решите неравенство

sova

2019-07-01 13:58:17

ОДЗ:
{(x-2)^2>0 ⇒ x ≠ 2
{(x-2)^2 ≠1 ⇒ x-2 ≠ 1 и х-2 ≠ -1 ⇒ х ≠ 1; х ≠ 3
{(5-x)/(4-x) >0 ⇒ (x-5)/(x-4)>0 ⇒ x<4 или x>5
{x^2-9x+20>0 ⇒ (x-5)(x-4) >0 см третью строку

ОДЗ: (- ∞; 1)U(1;2) U(2;3) U(3;4) U(5;+ ∞ )

1=log_(a)a

Неравенство:

log_((x-2)^2)(5-x)/(4-x) ≤ log_((x-2)^2)(x-2)^2+log_((x-2)^2)(1/(x-5)(x-4))

Сумму логарифмов заменим логарифмом произведения:

log_((x-2)^2)(5-x)/(4-x) ≤ log_((x-2)^2) [b]([/b](x-2)^2/(x-5)(x-4) [b])[/b]

Рассматриваем два случая, в зависимости от основания логарифмической функции

1)
(x-2)^2>1 ⇒ (x-2)^2-1 >0 ⇒ (x-2-1)*(x-2+1) >0

x ∈ (- ∞ ;1) U (3;+ ∞ )
Логарифмическая функция возрастает, большему значению функции соответствует большее значение аргумента

(5-x)/(4-x) ≤(x-2)^2/(x-5)(x-4)

(x-5)/(x-4) - (x-2)^2/(x-5)(x-4) ≤0

((x-5)^2-(x-2)^2)/(x-5)(x-4)≤0

(x-5-x+2)(x-5+x-2)/(x-5)(x-4)≤0
Так как (x-5)(x-4) > 0 cм. третью строчку ОДЗ, то

(x-5-x+2)(x-5+x-2) ≤0
-3*(2x-7) ≤0

2x-7 ≥ 0
х ≥ 3,5

[3,5;4)U(5;+ ∞ )

C учетом x ∈ (- ∞ ;1) U (3;+ ∞ ) получаем
о т в е т. 1)
[3,5;4)U(5;+ ∞ )


2)

0 < (x-2)^2<1 ⇒ (x-2)^2-1 <0; x ≠ 2⇒ (x-2-1)*(x-2+1) <0

x ∈ (1;2) U (2;3 )

Логарифмическая функция убывает, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента

(5-x)/(4-x)≥(x-2)^2/(x-5)(x-4)

(2x-7)/(x-5)(x-4)≤0

Так как (x-5)(x-4) > 0 cм. третью строчку ОДЗ, то
2x-7 ≤0

С учетом x ∈ (1;2) U (2;3 )

о т в е т. 2)
(1;2) U (2;3 )

О т в е т. Объединяем ответ 1) и ответ 2) с учетом ОДЗ

(1;2) U (2;3 )U[3,5;4)U(5;+ ∞ )
≥