Задача 35631 найти все значения параметра а,при...

espera_sip

2019-04-10 13:40:48

найти все значения параметра а,при котором неравенство I6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+aI меньше или равно 6

sova

2019-04-10 14:23:17

★

двойное неравенство:
-6 ≤ 6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≤ 6

или

система двух неравенств [b]с параметром[/b]
{6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≤ 6
{6sin^2x+2sinxcosx+2cos^2x+a ≥-6

Так как sin^2 α +cos^2 α =1

{4sin^2x+2sinxcosx+a -4 ≤ 0
{4sin^2x+2sinxcosx+a +8 ≥0


{4*(1-cos2x)/2+sin2x+a-4≤ 0
{4*(1-cos2x)/2+sin2x+a +8 ≥0

{2-2cos2x+sin2x+a-4≤ 0
{2-2cos2x+sin2x+a +8 ≥0

{-2cos2x+sin2x+a-2≤ 0
{-2cos2x+sin2x+a +10 ≥0

так как
sin2x-2cos2x=sqrt(5)* [b]([/b](1/sqrt(5))*sin2x- (2/sqrt(5))*cos2x [b])[/b] =

=sqrt(5)* [b]([/b](cos φ *sin2x-sin φ *cos2x [b])[/b] =

=sqrt(5) *b]([/b]sin(2x- φ) [b])[/b]и

-1 ≤ (sin(2x- φ) ≤ 1

то

-sqrt(5) ≤ sin2x-2cos2x ≤ sqrt(5)

то
-2cos2x+sin2x+a-2≤ 0 имеет решения при -sqrt(5) ≤ -а+2 ≤ sqrt(5)

-2cos2x+sin2x+a +10 ≥0 имеет решения при -sqrt(5) ≤ -а-10 ≤ sqrt(5)

{2-sqrt(5) ≤ a ≤ 2+sqrt(5)
{-10-sqrt(5) ≤ a ≤ -10+sqrt(5)

Осталось найти пересечение множеств неравенства (1) и (2)