Задача 53032 Доказать, что...

vk277292461

2020-08-19 08:02:12

Доказать, что неравенство
x^(20)-x^(17)+x^(14)-x^3+x^2-x+1>0 выполняется для всех действительных значений х.

sova

2020-08-19 18:35:41

[red]Если x ≤ 0 [/red] ⇒ x^(20)+x^(14)+x^2+1>0
и
- x ≥ 0

x^(17) ≤ 0 ⇒ -x^(17) ≥ 0
x^(3) ≤ 0 ⇒ -x^(3) ≥ 0

Тогда:
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1 >0 - [i]неравенство верно[/i]


[red]Если x > 0[/red], то рассматриваем [i]два случая[/i]:

0 < x < 1 и x ≥ 1


Если 0 < x < 1

[m]x < 1[/m] ⇒ [m] x - 1 <0[/m], а значит [m] -x+1 >0[/m]

x^2 > x ^3 ⇒ x^2-x^3 >0

x^(14) > x ^(17) ⇒ x^(14)-x^(17) >0

Поэтому
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1=[b]x^(20)[/b]+([blue]x^(14)-x^(17)[/blue])+[blue](x^2-x^3)[/blue]+[blue](-x+1)[/blue] >[b] x^(20)[/b] +0+0+0>0

неравенство верно

Если x ≥ 1

x^(20) > x^(17) ⇒ x^(20) - x^(17) >0

x^(14) > x^(3) ⇒ x^(14) - x^(3) > 0

x^2 > x ⇒ x^(2) - x > 0

Поэтому
x^(20)- x^(17)+x^(14)-x^(3)+x^2-x+1=([blue]x^(20)-x^(17)[/blue])+([blue]x^(14)-x^(3)[/blue])+([blue]x^(2) - x[/blue])+1 >0+0+0+1 >0

неравенство верно при любых х