Задача 11028 ...

slava191

29 октября 2016 г.

В неравнобедренном треугольнике АВС угол BAC = 45°. Продолжение биссектрисы CD треугольника пересекает описанную около него окружность θ₁ в точке Е. Окружность θ₂, описанная около треугольника АDE, пересекает продолжение стороны АС в точке F.

А) Докажите, что центр окружности θ₁ лежит на прямой FB.

Б) Найдите радиус окружности θ₂, если известно, что АС=6, AF=2.

SOVA

30 октября 2016 г.

★

А) какая–то неясность с центрами и окружностями.

Центр окружности θ₂ наверное, лежит на прямой FB.

Б)∠AСD=∠DCB – биссектриса СD делит угол пополам.
∠AВС=∠AED как вписанные углы, опирающиеся на дугу АС окружности θ ₁;
∠AED=∠AFD как вписанные углы, опирающиеся на дугу АD окружности θ ₂.

Значит, ∠AFD=∠AВС.
Δ СВF и ΔСBD равны по общей стороне СD и двум прилежащим к ней углам ( два угла в треугольниках равны, значит и третьи углы равны).
ВС=FC=FA+AC=2+6=8

По теореме синусов из треугольника АВС:
ВС/sin ∠ВАС = 2R

R=8/√2/2=8/√2=4√2

R _{θ 1}=4√2

По теореме косинусов из Δ АВС:
BC²=AB²+AC²–2AB·AC·cos45 °
8²=AB²+6²–2·6·AB·√2/2 ⇒ AB²–6√2·AB–28=0 ⇒

D=(6·√2)²–4·(–28)=72+112=184=4·46

По свойству биссектрисы СD треугольника АВС:
AD:DB=АС:СВ=6:8 ⇒ AD:DB=3:4 и AD=(3/4)BD