Задача 34307 Найти все данные геометрическим...
Условие
(стереометрия; углы между прямыми)
Решение
1. Перпендикулярны, так как F_(1)H_(1) ⊥ E_(1)G_(1)
и
LN||F_(1)H_(1) , EG|| E_(1)G_(1)
Угол 90 градусов.
2. F_(1)T и FH пересекаются, так как лежат в одной плоскости.
∠ F_(1)АF= ∠ BHF
tg∠ BHF=BF/FH=(1/2)/(1*sqrt(2))=1/(2sqrt(2))
∠ F_(1)АF=∠ BHF=arctg(1/(2sqrt(2)))
3. Параллельны.
NT - средняя линия треугольника HH_(1)G
NT=(1/2)d
d- диагональ грани куба.
KF_(1)=(1/2)d
KF_(1)NT- параллелограмм, противоположные стороны
NT и KF_(1) равны и параллельны.
Значит F_(1)N|| KT
∠(F_(1)N, KT)=0^(o)
4. Cкрещиваются.
TN || G_(1)H
G_(1)H и EG - скрещиваются.
EG лежит в плоскости EFGH, G_(1)H пересекает плоскость EFGH
в точке Н, не принадлежащей первой прямой.
F_(1)E||G_(1)H
∠ F_(1)EG=60^(o) - один из углов равностороннего треугольника F_(1)EG стороны которого диагонали граней куба и равны sqrt(2)
5.
Пересекаются как диагонали параллелограмма KF_(1)NT ( доказательство см. в п.3)
(F_(1)N)^2=(F_(1)G_(1))^2+(G_(1)N)^2
(F_(1)N)^2=1^2+(1/2)^2=5/4
F_(1)N=sqrt(5)/2
[b]KT=F_(1)N=sqrt(5)/2[/b]
[b]TN=KF_(1)=sqrt(2)/2[/b]
(F_(1)T)^2=(F_(1)H)^2+HT^2=(sqrt(2))^2+(1/2)^2=2+(1/4)=9/4
[b]F_(1)T=3/2[/b]
По формуле, связывающей диагонали и стороны параллелограмма
d^2_(1)+d^2_(2)=2*(a+b)
KN^2+F_(1)T^2=2*(KT^2+TN^2)
KN^2+(9/4)=2*((5/4)+(2/4))
KN=sqrt(5)/2
Зная две диагонали и две стороны параллелограмма можно найти угол между диагонали по теореме косинусов
cosφ=(9/16)+(5/16)-(2/4))/(2*sqrt(5)*3/16)=1/sqrt(5)
[b] φ=arccos(1/sqrt(5))[/b]
6.
LN и КН_(1) cкрещивающиеся.
LN лежит в пл. верхнего основания, КН_(1) пересекает пл. верхнего основания в точке Н_(1), не принадлежащей LN
Проводим
F_(1)H_(1) || LN
∠ KH_(1)F_(1) - угол между KH_(1) и H_(1)F_(1), а значит и между
KH_(1) и LN
Из прямоугольного треугольника KH_(1)F_(1):
tg ∠ KH_(1)F_(1) =KF_(1)/F_(1)H_(1)=(sqrt(2)/2)/sqrt(2)=1/2
∠ KH_(1)F_(1)=arctg(1/2).
[b]Очень много в одном вопросе. [/b]
