Задача 29480 ...

slava191

6 сентября 2018 г. в 10:24

а) Решите уравнение 16^cosx​+16^cos(π−x) = 17/4.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π ; 5π/2].

sova

6 сентября 2018 г. в 12:35

★

По формулам приведения
cos(π–x)=–cosx
Замена переменной
16^cosx=t
16^–cosx=1/(16^cosx)=1/t
Уравнение принимает вид
t+(1/t)=17/4;
4t²–17t+4=0
D=289–4·4·4=289–64=225
t₁=(17–15)/8=1/4 или t₂=(17+15)/8=4

Обратная замена

16^cosx=1/4;
4^2cosx=4^–1
2cox=–1
cosx=–1/2
x= ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z

ИЛИ

16^cosx=4
4^2cosx=4
2cosx=1
cos=1/2
x= ± (π/3)+2πn, n ∈ Z

а) О т в е т. ± (π/3)+2πn, n ∈ Z или ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z
что можно записать короче так:
±( π/3)+πm, m ∈ Z

б) Указанному промежутку принадлежат три корня:
x₁=(–2π/3)+2π=4π/3;
x₂=(–π/3)+2π=5π/3
x₃=(π/3)+2π=7π/3