Задача 13143 Найдите все значения параметра при...

maxim1111RYYY

23 января 2017 г.

Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение x³+ax²+3x–2=0 не имеет ни одного решения на интервале (0;2)

SOVA

23 января 2017 г.

★

Решим противоположную по смыслу задачу.
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение x³ + ax² +3x –2 =0 имеет ХОТЯ БЫ ОДНО решение на интервале (0;2)
Применяем теорему о нуле непрерывной функции. Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю.
f(x)=x³+ax²+3x–2
Находим значения этой функции на концах.
f(0)=–2 < 0
f(2)=2³+a·2²+3·2–2=12+4a
Для выполнения условий теоремы потребуем, чтобы
12+4a > 0 ⇒ a > –3

При а=–3 получаем уравнение
х³–3x²+3x–2=0
x³–3x²+3x–1–1=0
(x–1)³–1=0
(x–1–1)·((x–1)²+x–1+1)=0
(x–2)·(x²–x+1)=0
x=2 – корень уравнения,
2∉(0;2)
Значит, при а∈(–3;+ ∞) уравнение имеет хотя бы один корень на интервале (0;2)
При а∈(– ∞;–3] не имеет корней на интервале (0;2)
О т в е т. а∈(– ∞;–3]