Задача 13143 Найдите все значения параметра при...
Условие
Решение
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение x^3 + ax^2 +3x –2 =0 имеет ХОТЯ БЫ ОДНО решение на интервале (0;2)
Применяем теорему о нуле непрерывной функции. Если функция непрерывна на некотором отрезке и на концах этого отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю.
f(x)=x^3+ax^2+3x-2
Находим значения этой функции на концах.
f(0)=-2 < 0
f(2)=2^3+a*2^2+3*2-2=12+4a
Для выполнения условий теоремы потребуем, чтобы
12+4a > 0 ⇒ a > -3
При а=-3 получаем уравнение
х^3-3x^2+3x-2=0
x^3-3x^2+3x-1-1=0
(x-1)^3-1=0
(x-1-1)*((x-1)^2+x-1+1)=0
(x-2)*(x^2-x+1)=0
x=2 - корень уравнения,
2∉(0;2)
Значит, при а∈(-3;+ ∞) уравнение имеет хотя бы один корень на интервале (0;2)
При а∈(- ∞;-3] не имеет корней на интервале (0;2)
О т в е т. а∈(- ∞;-3]