Задача 50657 2.3 Найдите значение произвольных...

vk267309506

18 мая 2020 г. в 18:04

2.3 Найдите значение произвольных постоянных при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
y'' – 3y' – 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = –2

sova

18 мая 2020 г. в 18:41

★

Составляем характеристическое уравнение:
k²–3k–4=0

D=(–3)²–4·(–4)=25

k₁=–1; k₂=4– корни действительные кратные

Общее решение имеет вид:
y=С₁·e^–x+C₂·e^4x


y(0)=1

1=С₁·e⁰+C₂·e⁰ ⇒ 1=С₁+C₂

Находим производную общего решеня:

y`=(С<sub>1</sub>·e<sup>–x</sup>+C<sub>2</sub>·e<sup>4x</sup>)` ⇒ y`=С<sub>1</sub>·e<sup>–x</sup>·(–x)`+C₂·e^4x·(4x)`




y`=(–1)·С₁·e^–x+4·C₂·e^4x

y`(0)=–2

–2=–С₁·e⁰+4·C₂·e⁰ ⇒ –2=–С₁+4·C₂

Из системы:
{1=С₁+C₂
{–2=–С₁+4·C₂

Cкладываем
–1=5С₂

С₂=–0,2

С₁=1– С₂=1–(–0,2)=1,2

и подставляем в найденное общее решение.

Получаем ответ

y=1,2·e^–x–0,2·e^4x