Задача 30017 Решите неравенство...

slava191

2018-10-06 18:48:09

Решите неравенство x*3^(log(1/9)(16x^4-8x^2+1)) < 1/3 [л15]

sova

2018-10-06 19:37:19

★

ОДЗ:
16x^4-8x^2+1> 0 ⇒ x ≠ ± 1/2


Так как
3^(log_(1/9)(16x^4-8x^2+1)=3^((-1/2)log_(3)(16x^4-8x^2+1))=

=3^(log_(3)(16x^4-8x^2+1)^(-1/2))=(16x^4-8x^2+1)^(-1/2))=

=1/(16x^4-8x^2+1)^(1/2)=1/sqrt(4x^2-1)^2)=1/|4x^2-1|,

неравенство принимает вид:

x/|4x^2-1| < 1/3

(3x- |4x^2-1|)/|4x^2-1| < 0

Так как |4x^2-1| > 0 при любом х ∈ ОДЗ

3x - |4x^2-1| <0

|4x^2-1| > 3x

Если [b]x ≤ 0[/b], неравенство верно при любом х из ОДЗ
Поэтому ответ в первом случае:
[b](- ∞ ;-1/2) U(-1/2;0] [/b]

(велика опасность потерять 0, чтобы этого не произошло можно рассмотреть случаи x < 0; x=0 и x > 0)

Если [b]х > 0[/b]
возводим в квадрат
16x^4-8x^2+1 > 9x^2

16x^4-17x^2+1 >0
(16x^2+1)*(x^2-1) >0

16x^2+1 > 0 при любом х, значит

x^2 - 1 > 0 ⇒ x ∈ (- ∞ ;-1) U(1;+ ∞ ) C учетом x ≥ 0
о т в е т во втором случае
[b](1;+ ∞ )[/b]


О т в е т. (- ∞ ;-1/2) U(-1/2;0] U (1;+ ∞)

Прослеживается тенденция решения иррациональных неравенств вида

sqrt(f(x)) > g(x) и sqrt(f(x)) < g(x)