Задача 30017 Решите неравенство...

slava191

6 октября 2018 г. в 18:48

Решите неравенство x·3^{log_1/9(16x4–8x2+1)} < 1/3 [л15]

sova

6 октября 2018 г. в 19:37

★

ОДЗ:
16x⁴–8x²+1> 0 ⇒ x ≠ ± 1/2


Так как
3<sup>log_1/9(16x4–8x2+1)=3(–1/2)log₃(16x4–8x2+1)=

=3log₃(16x4–8x2+1)–1/2=(16x4–8x2+1)–1/2</sup>=

=1/(16x⁴–8x²+1)^1/2=1/√4x²–1²)=1/|4x²–1|,

неравенство принимает вид:

x/|4x²–1| < 1/3

(3x– |4x²–1|)/|4x²–1| < 0

Так как |4x²–1| > 0 при любом х ∈ ОДЗ

3x – |4x²–1| <0

|4x²–1| > 3x

Если x ≤ 0, неравенство верно при любом х из ОДЗ
Поэтому ответ в первом случае:
(– ∞ ;–1/2) U(–1/2;0]

(велика опасность потерять 0, чтобы этого не произошло можно рассмотреть случаи x < 0; x=0 и x > 0)

Если х > 0
возводим в квадрат
16x⁴–8x²+1 > 9x²

16x⁴–17x²+1 >0
(16x²+1)·(x²–1) >0

16x²+1 > 0 при любом х, значит

x² – 1 > 0 ⇒ x ∈ (– ∞ ;–1) U(1;+ ∞ ) C учетом x ≥ 0
о т в е т во втором случае
(1;+ ∞ )


О т в е т. (– ∞ ;–1/2) U(–1/2;0] U (1;+ ∞)

Прослеживается тенденция решения иррациональных неравенств вида

√f(x) > g(x) и √f(x) < g(x)