Задача 46804 ...

vk188335744

2020-04-12 21:10:25

Вычислить двойной интеграл ∫ ∫ 2ydxdy где область D y=sqrt(x), y=0, x+y=2

sova

2020-04-12 21:57:36

★

Если рассматривать внешний интеграл по переменной х, область интегрирования надо разбить на две области, и получим сумму интегралов:

∫ ∫_(D) 2*ydxdy=2* ∫^(1)_(0)( ∫^(sqrt(x))_(0)ydy)dx+ 2* ∫^(2)_(1)( ∫^(2-x)_(0)ydy)dx=

Наоброт, то

0 ≤ y ≤ 1

и тогда из уравнения y=sqrt(x)получим уравнение линии входа в область [b]x=y^2[/b]; а из уравнения x+y=2
получим уравнение линии выхода из области [b]x=2-y[/b]

y^2 ≤ x ≤ 2-y

∫ ∫_(D) 2*ydxdy=2* ∫ ^(1)_(0)( ∫ ^(2-y)_(y^2)ydx)dy=

=2* ∫ ^(1)_(0)( y*x)| ^(2-y)_(y^2)dy=

=2*∫ ^(1)_(0)((2-y)*y-(y*y^2))dy=

=2*∫ ^(1)_(0)(2y-y^2-y^3)dy=

=это определенный интеграл считайте...