Задача 16862 Основанием прямой четырехугольной призмы...

slava191

17 июля 2017 г.

Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, AB=AA1

а) Докажите, что прямые А1С и BD перпендикулярны

б) Найдите объем призмы, если А1С=BD=2.

SOVA

17 июля 2017 г.

★

а)Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, значит
АС ⊥ BD.

Призма прямая , боковые ребра перпендикулярны плоскости основания
А1А ⊥ АС

По теореме о трех перпендикулярах, АС – проекция А1С
и АС перпендикулярна BD, значит и наклонная А1С перпендикулярна BD.

б) Пусть АВ=ВС=СD=AD=x
По условию
АВ=АА1 и значит АА1=х
Применяем формулу, связывающую квадраты диагоналей параллелограмма и его стороны:
d²₁+d²₂=2·(a²+b²)

AC²+BD²=4x²
AC²+2²=4x²
AC²=4x²–4

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АА1С:
А1С²=A1A²+AC²
2²=x²+(4x²–4)
5x²=8
x²=8/5
x=√8/5

V(призмы)=S(ромба)·H=(1/2)d₁·d₂·AA1=
=(1/2)2·√4x²–4·x=
=(1/2)·2·√4·(8/5)–4·√8/5= √12/5·√8/5=4√6/5

О т в е т. 4√6/5