Задача 20272 2. Даны вершины треугольника ABC: A(-1;...
Условие
Составить:
а) уравнение стороны AC;
б) уравнение медианы AM;
в) уравнение высоты BH и найти её длину.
Решение
Уравнение АС как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид:
(x-x_(C))/(x_(A)-x_(C))=(y-y_(C))/(y_(A)-y_(C))
(x-17)/(-1-17)=(y-10)/(7-10)
Пропорция, перемножаем крайние и средние члены пропорции
-3*(х-17)=-18*(у-10)
х-17=6(у-10)
х-6у+43=0
б)
х_(М)=(х_(В)+х_(С))/2=(11+17)/2=14
у_(М)=(у_(В)+у_(С))/2=(2+10)/2=6
M(14;6)
Уравнение АМ как уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид
(x-x_(M))/(x_(A)-x_(M))=(y-y_(M))/(y_(A)-y_(M))
(x-14)/(-1-14)=(y-6)/(7-6)
или
х-14=-15(у-6)
х+15у-104=0
в) ВН ⊥ АС
Угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых равны -1
Так как уравнение АС имеет вид
у=(1/6) х-(43/6)
у=-6х+b - уравнение прямых, перпендикулярных АС
Уравнение ВН найдем подставив координаты точки В в данное семейство
2=-6*11+b
b=68
y=-6x+68
или второй способ направляющие векторы взаимно перпендикулярных прямых тоже взаимно перпендикулярны.
Направляющий вектор АС имеет координаты.
(1;-6)
Направляющий вектор ВН имеет координаты (6;1)
Тогда их скалярное произведение (1*6-6*1=0)
6х+у+m=0
Подставляем координаты точки В
6*11+2=m
m=-68
6х+у-68=0
ВН=d( расстоянию от точки В до АС)=
=|11-6*2+43|/sqrt(1+6^2)=
=42/sqrt(37)