а). найти точки разрыва;
б). найти скачок функции в каждой точке разрыва;
в). сделать чертеж.
–2, x < –π/2
f(x) = 2 sinx x, –π/2 < x ≤ π/2
1, x > 2
На (-π/2;π/2) функция непрерывна, так как y=2sinx непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
На (π/2;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=1 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ )
Значит, надо выяснить непрерывность функции
в точке х=-π/2 и в точке х=π/2
х=-π/2
Находим предел слева:
lim_(x →(-π/2) -0)f(x)=lim_(x →(-π/2) -0)(-2)=-2
Находим предел справа:
lim_(x →(-π/2) +0)f(x)=lim_(x →(-π/2) +0)2sinx=2*(sin(-π/2))=2*(-1)=-2
предел слева = пределу справа
Функция не определена в точке x=(-π/2)
х=(-π/2) - [i]точка устранимого разрыва [/i]
если условие написано верно и в самом деле нет знака ≤ ни в первой строке ни во второй относительно (-π/2)
х=π/2
Находим предел слева:
lim_(x →(π/2) -0)f(x)=lim_(x → (π/2)-0)2sinx=2*(sin(π/2))=2
Находим предел справа:
lim_(x →(π/2) +0)f(x)=lim_(x → (π/2)+0)1=1
предел слева ≠ пределу справа
х=(π/2) - [i]точка разрыва первого рода [/i]
функции в точке (π/2) имеет скачок ( конечный)
предел справа - предел слева:
1-2=-1 - скачок