Задача 26457 Помогите пожалуйста решить как можно...
Условие
как можно подробнее решение и с пояснением 
Решение
Применяем свойства
Интеграл от суммы равен сумме интегралов.
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и формулу
∫ x^( альфа )dx=x^( альфа +1)/( альфа +1)+ C
= ∫ x^(-1/5)dx+ 3* ∫ x^(5)dx=x^*(-1/5)+1)/((-1/5)+1)+3*(x^(5+1))/(5+1) + C=
=(5/4)x^(4/5)+(1/2)x^6 + C
2) х/(x+1)^2=((x+1)-1)/(x+1)^2 = почленно делим каждое слагаемое на знаменатель =
(х+1)/(x+1)^2 - (1/(x+1)^2)=(1/(x+1))-(1/(x+1)^2)
Применяем свойство: интеграл от суммы равен сумме интегралов.
= ∫ (1dx/(x+1))- ∫(dx/(x+1)^2)= так как d(x+1)=(x+1)`*dx=dx, то
∫ (d(x+1)/(x+1))- ∫(d(x+1)/(x+1)^2)=
=ln|x+1|- ∫ (x+1)^(-2)d(x+1)=
=ln|x+1|- (-1/(x+1))+C=
=ln|x+1|+(1/(x+1))+C
3) Интегрирование по частям
u=lnx ⇒ du =(1/x)dx
dv=x^2 dx ⇒ v= ∫ x^2 dx =(x^3/3)
= u*v- ∫ vdu=
=(x^3/3)*lnx - ∫ (1/x)*(x^3/3) dx=
=(x^3/3)*lnx - (1/3) ∫ (x^2) dx=
=(x^3/3)*lnx - (1/3) (x^3/3) + C
=(x^3/3)*lnx - (x^3/9) + C
4.
Раскладываем подинтегральную дробь на простейшие
(4x^2-x+3)/(x^2*(x-1))= (A/x)+(B/x^2)+(D/(x-1))
Приводим к общему знаменателю правую часть и приравниваем числители
4x^2-x+3=A*x*(x-1)+B*(x-1)+Dx^2
Два многочлена равны, если их степени равны и коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны
4x^2-x+3=(A+D)x^2+(B-A)x - B
При x^2
4=(A+D)
При х
-1=В-А
При x^(0)
3= - В ⇒ В=-3 ⇒
В - А = -1 и при В =-3 ⇒ А=-2
D=4-A=6
∫ (4x^2-x+3)dx/(x^2*(x-1))= ∫(-2dx/x)+∫(-3dx/x^2)+∫(6dx/(x-1))=
=-2ln|x| + (3/x) + 6 ln|x-1| + C
5. (x-2)/x=t^2 ⇒ x-2=xt^2 ⇒ x=2/(1-t^2)
dx=(2/(1-t^2))`dt=(-2/(1-t^2)^2)*(1-t^2)1dt=4tdt/(1-t^2)^2
= ∫ ((1-t^2)^2/4)*t*(4tdt/(1-t^2)^2)= ∫ t^2dt=(t^3/3) + C=
=sqrt(((x-2)/x)^3) + C
6) tg(x/2)=t ⇒ (x/2)=arctg t ⇒ x=2arctgt ⇒
dx=2*(1/(1+t^2)dt
sinx=2t/(1+t^2)
cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
=∫ 2/(t^2+2t-1)dt=2∫dt/((t+1)^2-2)=2/sqrt(2)arctg(t+1)/sqrt(2) + C
t=tg(x/2)
7)
Находим координату точки пересечения прямых
у=х и х+у=3
Решаем систему уравнений:
{y=x
{y=3-x
x=3-x
2x=3
x=1,5
S=∫^(1,5)_(0)(3-x -x) dx==∫^(1,5)_(0)(3-2x) dx=
=(3x - x^2)|^(1,5)_(0)=3*1,5-(1,5)^2=4,5-2,25=2,25