Задача 45299 решить уравнение и изобразить все...

vk564985849

24 марта 2020 г. в 14:39

решить уравнение и изобразить все решения на комплексной плоскости
z³=1

sova

24 марта 2020 г. в 14:47

★

1=cos0+isin0 – тригонометрическая форма комплексного числа z=1

Применяем формулу Муавра:

∛1=∛1·[m](cos\frac{0+2 \pi k}{3}+isin\frac{\frac{0+2\pi k}{3})[/m], k ∈ Z

при k=0
первый корень
z_o=1·[m](cos\frac{0}{3}+isin\frac{0}{3})=cos0+isin0=1[/m]

при k=1
второй корень
z₁=1·[m](cos \frac{0+2\pi}{3}+isin \frac{0+2\pi}{3})=1\cdot (cos\frac{2\pi}{3}+isin\frac{2\pi}{3})=-\frac{1}{2}+i\cdot (\frac{-\sqrt{3}}{2})[/m]

при k=2
третий корень
z₂=1·[m](cos\frac{0+4\pi}{3}+isin\frac{0+4\pi}{3})=1\cdot (cos\frac{4\pi}{3}+isin\frac{4\pi}{3})=\frac{1}{2}+i\cdot (\frac{-\sqrt{3}{2}})[/m]

Корни расположены на окружности радиуса 1, делят окружность на три равные части, между точками углы в 120 °

первый корень z_o – точка с координатами (1;0)

второй корень z₁ –точка во второй четверти, с координатами

[m](-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})[/m]

между ними угол в 120 °.

третий корень z₂ –точка в третьей четверти, с координатами
[m](-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})[/m]

между ними угол в 120 °.