Задача 29984 Пусть x и y – положительные числа такие,...

slava191

2018-10-06 14:08:36

Пусть x и y – положительные числа такие, что x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000. Какое наибольшее значение может принимать сумма x+y. [ФТ3]

sova

2018-10-06 16:13:34

Обозначим
x+y=u
xy=v
x^3+y^3=(x+y)^3-3(x+y)*xy=u^3-3uv

Тогда
x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000
можно записать
u^3-3uv+u^3+30v=2000
2u^3-2000+30v-3uv=0
2*(u-10)*(u^2+10u+100)+3*v*(10-u)=0

(u-10)*(2u^2+20u+200-3v)=0

2u^2+20u+200-3v=2*(x+y)^2+20*(x+y)+200-3xy=

=2x^2+4xy+2y^2+20x+20y+200-3xy=

=2x^2+xy+2y^2+20x+20y+200 > 0 при любых x и у положительных, поэтому только

u-10=0

u=10

Значит,
x+y=10

О т в е т. 10