Задача 37581 15-го декабря планируется взять кредит в...

kzyuf

26 мая 2019 г. в 11:18

15–го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 31 месяц. Условия его возврата таковы:
— 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15–го числа каждого месяца с 1–го по 30–й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца;
— к 15–му числу 31–го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какой долг будет 15–го числа 30–го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1503 тысячи рублей?

sova

2 мая 2020 г. в 15:51

Кредит на 31 месяц

1) условие
–1–го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца

См первый столбик ( начисление процентов на долг)

2) условие
– со 2го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

и так, чтобы
выполнялось условие
3) условие
15–го числа каждого месяца с 1–го по 30–й месяц ( 30 раз) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15–е число предыдущего месяца;

Это показано в правом столбце таблицы

4) условие

к 15–му числу 31–го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Поэтому остаток 30–го месяца неизвестен. Пусть он равен B

С него и начинаем решать задачу, так называемым "методом решения задачи с конца"

Пусть долг ежемесячно уменьшается на одну и ту же величину х тыс руб

Тогда в конце 29–го месяца долг составит (B+х) тыс руб.
В конце 28–го месяца долг составит (B+2х) тыс. руб.
.....
В конце первого месяца от будет (B+29x) тыс руб
И поскольку согласно условия 3) долг за 1–ый месяц уменьшился на х тыс. руб, то значит

сумма кредита составляет (B+30х)тыс руб

В первом столбце показано как начисляют проценты.

Проценты начисляют на остаток долга

Поэтому за 1–ый месяц проценты начислены на весь кредит.
1%=0,02

0,02·(B+30х) – % , начисленные за первый месяц

Клиент выплачивает со второго по 14 число первого месяца ( одним платежом)
проценты и часть кредита х тыс руб:
0,02·(B+30х) + x
Остаток долга на х меньше и равен (B+30x)–x=B+29x

Остаток долга уменьшится на х тыс. руб.

Цикл повторяется 30 раз

Таким образом, останов к концу 30 месяца равен В тыс. руб

1 числа 31–го месяца начисляют проценты на этот остаток. Клиент выплачивает проценты на остаток 30–го месяца и сам остаток:
0,02·B + B

до 15 числа 31 месяца долг составит 0


Уравнение:

0,02·((B+30х)+(B+29х)+(B+28х)+,,,(B+2х)+(B+х))+30·х+ 0,02·B+B=1503

Второе условие: сумма кредита равна 1100 тыс руб

B+30·x=1100


Система двух уравнений:
{B+30·x=1100
{0,02·(30B+(30x+....+x))+30·x+B+0,02·B=403 ⇒ 0,02·31·B+0,02(31x·30/2))=403


{B=1100–30x
{0,02·31·(1100–30x)+0,02·31x·15=403 ⇒ 682–9,3x=403;
x=30
B=1100–30·30=200

О т в е т. 200 тыс. руб – долг к концу 30 месяца